斜索橋面耦合面內參數振動實例研究及參數分析

任淑琰　 顧明

同濟大學土木工程防災國家重點實驗室　上海200092 上海林同炎李國豪土建工程咨詢有限公司　上海200092

引言

    本系列論文第一部分介紹了作者建立考慮拉索垂度、拉索重力的弦向分力及索張力沿索長變化等因素的斜索一橋面等效質量塊，在軸向簡諧激勵下的響應的理論模型及近似求解方法。本文以南京長江二橋A20拉索為研究對象，對本系列論文的第一部分的理論方法進行了數值求解，分析了激勵強度、拉索阻尼及拉索張力對響應的影響。此外，本文除特別注明。

1、實例研究

    以南京長江二橋中的最長索A20為例進行數值分析。南京長江二橋A20拉索的基本參數為：拉索A、B兩錨固端之問的弦長L=330.4m，水平及垂直投影長度l和 h分別為292.389m和153.859m；拉索單位長度自重mg=0.795kN/m；拉索斷面面積A=0.01019m²；張力在B端(下端)的豎向分量K=3369.351kN，張力的水平分力Hs為6652kN；拉索彈性模量E=1.90×t08kN/m²。橋面節段等效質量取值：092=0.334wl時，M=9000t；ω2=0.505ω1，M=3950t；,ω2=0．979ω1，M=1050t；ω2=1.980ω1，M=260t。此外，阻尼系數取為0.92 N·s/m，對應的拉索一階阻尼比為0.19％。根據拉索運動方程(文獻[1]式(5))的系數計算得到斜拉索的一階頻率ω1=0．4654Hz。采用四階四段龍格一庫塔(Runge—Kutta)法[2]求解非線性耦合運動微分方程組(文獻[1]式(8))，得到索一橋耦合系統的響應特性。拉索振幅隨頻率的變化反映了拉索參數共振最重要的特征。圖l為斜拉索一階模態和橋面的最大振幅隨兩者固有頻率比的變化。

圖1斜拉索一階位移響應和橋面位移

    由圖l可知：①在ω1/ω2．接近1/3、1/2、1和2時斜拉索一階振幅出現峰值，和文獻[1]的理論解一致，其中ω1/ω2≈1和ω1/ω2≈2時峰值較大，ω1/ω2≈l/2時峰值稍小，ω1/ω2≈l/3時峰值最小；②理論分析還指出，當ω1/ω2≈3時可能會出現內共振，而數值計算發現在ω1/ω2≈3斜拉索振幅雖然比初始擾動值大，但并不明顯，這是由于引起ω1/ω2≈3的共振項為文獻[1]式(8)中的立方非線性項，且A20索的立方非線性項系數較小所致；③斜拉索一階振幅在1：3共振時對應的峰值中心為ω1/ω2≈0.3344，滿足文獻[1]中的式(22)；在1：2和2：1共振時的峰值中心在ω1/ω2≈0.5047和1．9803處，滿足文獻[1]中的式(18)；④對于橋面而言，其振動幅值和初始位移相同。此外，比較圖1與文獻[3]不考慮拉索重力弦向分力的有垂度索模型的計算結果可知，對于拉索的第一階模態，共振區分布以及共振區的峰值基本一致，這是因為A20索的垂度較小，斜拉索重力弦向分力的影響較小。

    圖2～圖5為不同頻率比(接近l：3、l：2、1：1以及2：1)時拉索一階位移A1(t)和橋面位移X(t)的時程曲線和相應的功率譜圖。圖示結果表明：①在共振情況下斜拉索的振幅是有限值。因在各種共振情況下，系統振動方程中的各系數滿足文獻[1]中的有界性條件(見文獻[1]中的式(28)、式(32)和式(37))。②斜拉索和橋面的幅值中均含有ωa、ωb。兩個頻率成分。在1：3、1：2以及2：1共振時斜拉索和橋面的幅值譜中均是靠近其固有頻率處的峰值比較大，另一頻率處的峰值比較小；而在1：1共振時斜拉索和橋面兩個頻率點處的譜峰值均很大，這是因為此時斜拉索和橋面的頻率近似相等。③共振情況下斜拉索和橋面的位移均呈現“拍”的特性。

2、參數影響分析

    2.1橋面激勵位移的影響

    通過改變橋面的初始激勵位移值來考察橋面激勵對斜拉索振幅的影響。計算中橋面初始位移值從0.005m變化到0.1m，計算結果見圖6。從圖6可以看出無論是非共振情況還是各種共振情況下，橋面的振幅則還是和其初始激勵值相同，而斜拉索的振幅均是隨著橋面初始位移激勵的增加而增加，而且接近于線性增長關系。

圖6斜拉索振幅隨橋面初始位移激勵的變化

    2.2斜拉索阻尼的影響

    考慮斜拉索阻尼時拉索的運動微分方程為：

    式中：c為拉索的阻尼系數。采用和文獻[1]相同的處理方法，得到考慮斜拉索阻尼的系統運動微分方程為：

    式中：阮β0=c/m，其他系數同前。

    通過改變斜拉索的阻尼系數來考察斜拉索的阻尼對拉索振幅的影響。計算中斜拉索的阻尼系數從0.2 N·s/m變化到26 N·s/m，相應的一階阻尼比在0.042％～5.5％的范圍內。

    圖7所示為共振情況下及非共振情況下斜拉索最大振幅隨拉索阻尼系數的變化。由圖可見，隨著斜拉索阻尼系數的增加，斜拉索的最大振幅減小。對于頻率比為1：3、1：2以及2：1共振情況，當拉索的阻尼系數分別達到3、2、6、11N·s/m(對應的阻尼比分別為0.63％、0.42％、l.26％、2.2％)時，曲線的斜率明顯減小，即斜拉索阻尼的抑振作用減弱，分別見圖7中的曲線(a)、(b)及(c)。而對于l：1共振，斜拉索振幅隨阻尼變化曲線的斜率沒有明顯變化，見圖7中曲線(c)。

    在實際的斜拉橋中，斜拉索的阻尼比很小，典型的一階阻尼比值為0.16％，一階阻尼比不超過0.2％。圖7中，當阻尼比為0．2％時，拉索最大共振位移分別為0.19m、0.52m、0.83m及0.78m，比不考慮斜拉索阻尼時分別減小了24.2％、24.0％、2.3％及9.2％。

    2.3斜拉索張力的影響

    在考察斜拉索張力對系統振動特性的影響之前，先考察張力變化對斜拉索頻率的影響。5種計算工況參數取值見表l。

    采用有限元分析軟件ANSYS對上面各工況下斜拉索的動力特性進行計算，得到拉索的頻率和振型，并將第一階面內模態的頻率列于表2，將這個結果作為標準值來衡量簡化算法得到的頻率值的精度。表2中比較了本文中三種簡化算法的結果，其中張緊弦模型中忽略了拉索的重力，有垂度水平索模型中雖然考慮了拉索的重力但卻忽略拉索重力沿索弦線方向的分力，而本節中的斜索模型對拉索重力垂度的簡化最少，和實際拉索比較接近。

圖7斜拉索振幅隨拉索阻尼的變化

表1不同張力時索A20的基本參數

    圖8為不同索張力下系統的最大振幅隨頻率比的變化。由圖可見，隨著斜拉索張力的增大，各種共振情況下以及當ω2/ω1<0．5時斜拉索最大振幅均減小，且共振區的寬度有所減小，各共振區峰值中心對應的頻率比ω2/ω1分別向l/2、1和2逼近。圖9給出了斜拉索各共振區中心對應的頻率比ω2/ω1。隨索張力的變化。由圖可見，斜拉索張力越小ω2/ω1相對于1/2、1和2的偏離值越大，其中ω2/ω1在1和2附近為向下偏離，ω2/ω1在1/2附近為向上偏離。這些偏離是由斜拉索的垂度引起的，這可從文獻[1]中共振條件的推導中看出。

    圖8為不同索張力下系統的最大振幅隨頻率比的變化。由圖可見，隨著斜拉索張力的增大，各種共振情況下以及當ω2/ω1<0．5時斜拉索最大振幅均減小，且共振區的寬度有所減小，各共振區峰值中心對應的頻率比ω2/ω1分別向l/2、1和2逼近。圖9給出了斜拉索各共振區中心對應的頻率比ω2/ω1。隨索張力的變化。由圖可見，斜拉索張力越小ω2/ω1相對于1/2、1和2的偏離值越大，其中ω2/ω1在1和2附近為向下偏離，ω2/ω1在1/2附近為向上偏離。這些偏離是由斜拉索的垂度引起的，這可從文獻[1]中共振條件的推導中看出。

圖8不同索張力下斜拉索和橋面的最大振幅隨頻率比的變化

圖9斜拉索各共振區中心對應的頻率比隨索張力的變化

3、結論

    本文基于《斜索一橋面耦合面內參數振Ⅰ：理論模型》的理論模型，以南京二橋A20拉索為對象，用數值解對近似解析解的結果進行驗證，最后討論系統參數對索一橋耦合振動響應的影響，得到了以下結論：

    (1)隨著垂跨比的增大，應考慮拉索垂度的影響以及拉索重力弦向分力的影響，以求得到較為精確的拉索一階頻率結果。

    (2)當橋面和拉索一階頻率比接近1/3、1/2、1以及2時，系統發生內共振。發生內共振時，拉索的振幅遠大于其初始擾動，而橋面的振幅基本上和其初始位移相同，但兩者均呈現拍的振動特性。在共振情況下，即使不考慮拉索和橋面的阻尼，系統的振幅也都滿足有界性條件，是有界量。

    (3)拉索一階響應以及橋面的響應成分中均兩個頻率成分，但以各自固有頻率為主。

    (4)隨著拉索張力增大，拉索垂跨比減小，系統1：2、1：1及2：1內共振區中心對應的頻率比分別以0.5、1和2為漸近線；且拉索的振幅減小，l：1內共振時的共振區寬度減小。

    (5)初始激勵對拉索的振幅有較大影響，拉索的振幅隨著橋面初始位移激勵的增加而線性增大。

    (6)隨拉索阻尼比的增加，拉索的振幅減小。

參考文獻

[1]任淑琰，顧明．斜索一橋面耦合面內參數振動l：理論模型[J]．土木工程學報，2009，42(5)：79—84

[2]同濟大學計算數學教研室．數值分析基礎[M]．上海：聞濟大學出版社，l998   

[3]任淑琰．斜拉橋拉索參數振動研究[D]．上海：同濟大學，2007

(本文來源：陜西省土木建筑學會  文徑網絡：溫紅娟  劉紅娟  尹維維 編輯 文徑 審核)